Single vs. Double Pendulum

%23%20%2F%2F%2F%20script%0A%23%20requires-python%20%3D%20%22%3E%3D3.11%22%0A%23%20dependencies%20%3D%20%5B%0A%23%20%20%20%22marimo%3E%3D0.19.10%22%2C%0A%23%20%20%20%22numpy%22%2C%0A%23%20%20%20%22scipy%22%2C%0A%23%20%20%20%22plotly%22%2C%0A%23%20%5D%0A%23%20%2F%2F%2F%0A%22%22%22%0ASingle%20vs.%20Double%20Pendulum%3A%20Regular%20Motion%20vs.%20Chaos%0AChaos%20and%20Predictability%0A%0AInteractive%20tutorial%20notebook.%0A%0ATo%20run%3A%0A%20%20%20%20uvx%20marimo%20run%20pendulum_chaos_explorer.py%0A%0ATo%20edit%3A%0A%20%20%20%20uvx%20marimo%20edit%20pendulum_chaos_explorer.py%0A%22%22%22%0A%0Aimport%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.24.0%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App(width%3D%22full%22%2C%20app_title%3D%22Single%20vs.%20Double%20Pendulum%22)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20imports()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%20%20%20%20import%20numpy%20as%20np%0A%20%20%20%20from%20scipy.integrate%20import%20solve_ivp%0A%20%20%20%20from%20scipy.special%20import%20ellipk%0A%20%20%20%20import%20plotly.graph_objects%20as%20go%0A%0A%20%20%20%20return%20ellipk%2C%20go%2C%20mo%2C%20np%2C%20solve_ivp%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20constants()%3A%0A%20%20%20%20G%20%3D%209.81%20%20%23%20m%2Fs%5E2%0A%20%20%20%20L_SINGLE%20%3D%201.0%20%20%23%20m%20%E2%80%94%20single-pendulum%20rod%20length%0A%20%20%20%20M1%2C%20M2%20%3D%201.0%2C%201.0%20%20%23%20kg%20%E2%80%94%20double-pendulum%20point%20masses%0A%20%20%20%20L1%2C%20L2%20%3D%201.0%2C%201.0%20%20%23%20m%20%E2%80%94%20double-pendulum%20rod%20lengths%0A%20%20%20%20return%20G%2C%20L1%2C%20L2%2C%20L_SINGLE%2C%20M1%2C%20M2%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20ode_functions(G%2C%20L1%2C%20L2%2C%20L_SINGLE%2C%20M1%2C%20M2%2C%20np)%3A%0A%20%20%20%20def%20single_pendulum_rhs(t%2C%20s)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20theta%2C%20omega%20%3D%20s%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20%5Bomega%2C%20-(G%20%2F%20L_SINGLE)%20*%20np.sin(theta)%5D%0A%0A%20%20%20%20def%20double_pendulum_rhs(t%2C%20s)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20th1%2C%20th2%2C%20w1%2C%20w2%20%3D%20s%0A%20%20%20%20%20%20%20%20delta%20%3D%20th1%20-%20th2%0A%20%20%20%20%20%20%20%20den%20%3D%202%20*%20M1%20%2B%20M2%20-%20M2%20*%20np.cos(2%20*%20delta)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20dw1%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20-G%20*%20(2%20*%20M1%20%2B%20M2)%20*%20np.sin(th1)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20-%20M2%20*%20G%20*%20np.sin(th1%20-%202%20*%20th2)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20-%202%20*%20np.sin(delta)%20*%20M2%20*%20(w2**2%20*%20L2%20%2B%20w1**2%20*%20L1%20*%20np.cos(delta))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%20%2F%20(L1%20*%20den)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20dw2%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%202%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20*%20np.sin(delta)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20*%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20w1**2%20*%20L1%20*%20(M1%20%2B%20M2)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2B%20G%20*%20(M1%20%2B%20M2)%20*%20np.cos(th1)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2B%20w2**2%20*%20L2%20*%20M2%20*%20np.cos(delta)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%20%2F%20(L2%20*%20den)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20%5Bw1%2C%20w2%2C%20dw1%2C%20dw2%5D%0A%0A%20%20%20%20return%20double_pendulum_rhs%2C%20single_pendulum_rhs%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20single_pendulum_controls(mo)%3A%0A%20%20%20%20theta0_deg%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D5%2C%20stop%3D175%2C%20step%3D5%2C%20value%3D30%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Initial%20angle%20%CE%B8%E2%82%80%20(degrees)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20(theta0_deg%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20double_pendulum_controls(mo)%3A%0A%20%20%20%20dp_theta1_deg%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D-170%2C%20stop%3D170%2C%20step%3D5%2C%20value%3D120%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22%CE%B8%E2%82%81%20initial%20angle%20(degrees)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20dp_theta2_deg%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D-170%2C%20stop%3D170%2C%20step%3D5%2C%20value%3D-10%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22%CE%B8%E2%82%82%20initial%20angle%20(degrees)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20dp_pert_exp%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D-8%2C%20stop%3D-2%2C%20step%3D0.5%2C%20value%3D-6%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Log%E2%82%81%E2%82%80%20perturbation%20size%20%20%CE%B4%E2%82%80%20(rad)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20dp_lead_time%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D1%2C%20stop%3D30%2C%20step%3D1%2C%20value%3D12%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Lead%20time%20(s)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20dp_lead_time%2C%20dp_pert_exp%2C%20dp_theta1_deg%2C%20dp_theta2_deg%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20display_title(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20%F0%9F%95%B0%EF%B8%8F%20One%20Pendulum%2C%20Two%20Pendulums%3A%20From%20Perfectly%20Regular%20to%20Chaotic%0A%0A%20%20%20%20**Chaos%20and%20Predictability**%0A%0A%20%20%20%20This%20notebook%20compares%20the%20simplest%20possible%20*regular*%20dynamical%20system%20%E2%80%94%20the%0A%20%20%20%20single%20pendulum%20%E2%80%94%20with%20the%20simplest%20possible%20*chaotic*%20one%20%E2%80%94%20the%20double%0A%20%20%20%20pendulum.%20Interact%20with%20each%20phase%20portrait%20before%20reading%20on%3A%20the%20qualitative%0A%20%20%20%20difference%20between%20the%20two%20is%20visible%20immediately%2C%20and%20the%20equations%20explain%0A%20%20%20%20*why*%20it%20has%20to%20be%20that%20way.%0A%0A%20%20%20%20---%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Learning%20objectives%0A%0A%20%20%20%20By%20the%20end%20of%20this%20notebook%20you%20will%20be%20able%20to%3A%0A%0A%20%20%20%201.%20**Write%20down**%20the%20exact%20equations%20of%20motion%20for%20the%20single%20and%20double%20pendulum%0A%20%20%20%202.%20**Derive**%20the%20small-angle%20(linear%2C%20SHM)%20approximation%20from%20the%20exact%20single-pendulum%0A%20%20%20%20%20%20%20equation%2C%20and%20state%20when%20it%20breaks%20down%0A%20%20%20%203.%20**Explain**%2C%20using%20the%20Poincar%C3%A9%E2%80%93Bendixson%20theorem%2C%20why%20the%20single%20pendulum%20can%20never%0A%20%20%20%20%20%20%20be%20chaotic%20%E2%80%94%20at%20any%20amplitude%0A%20%20%20%204.%20**Demonstrate**%20sensitive%20dependence%20on%20initial%20conditions%20in%20the%20double%20pendulum%20via%0A%20%20%20%20%20%20%20a%20twin-trajectory%20experiment%2C%20and%20estimate%20its%20Lyapunov%20exponent%0A%20%20%20%205.%20**Connect**%20the%20dimension-counting%20argument%20here%20to%20the%20Lorenz%2063%20system%0A%0A%20%20%20%20---%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20How%20to%20read%20this%20notebook%0A%0A%20%20%20%20%7C%20Symbol%20%7C%20Meaning%20%7C%0A%20%20%20%20%7C--------%7C---------%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%E2%9A%99%EF%B8%8F%20**Controls**%20%7C%20Sliders%20you%20manipulate%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%F0%9F%93%90%20**Theory**%20%7C%20Background%20equations%20and%20concepts%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%F0%9F%94%AC%20**Experiment**%20%7C%20Step-by-step%20activity%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%F0%9F%92%A1%20**Observation**%20%7C%20Live%20readout%20that%20updates%20as%20you%20explore%20%7C%0A%0A%20%20%20%20---%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Notebook%20structure%0A%0A%20%20%20%20%7C%20Section%20%7C%20Topic%20%7C%20Key%20concept%20%7C%0A%20%20%20%20%7C---------%7C-------%7C-------------%7C%0A%20%20%20%20%7C%20**1**%20%7C%20The%20single%20pendulum%20%7C%20Closed%20orbits%2C%20energy%20conservation%2C%20never%20chaotic%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20**2**%20%7C%20The%20double%20pendulum%20%7C%20Sensitive%20dependence%2C%20Lyapunov%20exponent%2C%20chaos%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20**3**%20%7C%20Comparison%20%7C%20The%20Poincar%C3%A9%E2%80%93Bendixson%20dimension%20argument%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20**%F0%9F%93%9D**%20%7C%20Guided%20questions%20%7C%20Synthesis%20%7C%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20cell_pendulum_story(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20---%0A%20%20%20%20%23%23%23%20%F0%9F%95%B0%EF%B8%8F%20Historical%20context%3A%20from%20clocks%20to%20chaos%0A%0A%20%20%20%20Christiaan%20Huygens%20analysed%20the%20pendulum's%20motion%20in%20the%201650s%E2%80%9370s%20to%20build%20the%0A%20%20%20%20first%20accurate%20pendulum%20clocks%2C%20and%20derived%20the%20small-angle%20period%20formula%0A%20%20%20%20%24T%20%3D%202%5Cpi%5Csqrt%7BL%2Fg%7D%24%20that%20is%20still%20taught%20today.%20For%20nearly%20two%20centuries%20the%0A%20%20%20%20pendulum%20was%20physics'%20best%20example%20of%20*perfectly%20predictable*%20motion%20%E2%80%94%20exactly%0A%20%20%20%20the%20kind%20of%20system%2019th-century%20determinism%20was%20built%20on.%0A%0A%20%20%20%20The%20double%20pendulum%20tells%20the%20opposite%20story.%20Its%20equations%20of%20motion%20follow%0A%20%20%20%20from%20classical%20mechanics%20known%20since%20Lagrange%2C%20but%20its%20chaotic%20behaviour%20was%0A%20%20%20%20only%20fully%20*appreciated*%20once%20digital%20computers%20made%20it%20possible%20to%20integrate%0A%20%20%20%20the%20equations%20for%20long%20enough%2C%20and%20to%20compare%20two%20barely-different%20initial%0A%20%20%20%20conditions%20%E2%80%94%20the%20same%20twin-experiment%20method%20used%20in%20Section%202%20below%2C%20and%20the%0A%20%20%20%20same%20one%20Lorenz%20used%20to%20discover%20chaos%20in%20his%20weather%20model%20(see%20the%0A%20%20%20%20%5BLorenz%2063%20notebook%5D(%2Fchaos%2Florenz63_ensemble_explorer.html)).%20Poincar%C3%A9%20had%0A%20%20%20%20already%20found%20this%20sensitive%20dependence%2C%20in%20the%203-body%20problem%2C%20seventy%20years%0A%20%20%20%20before%20Lorenz%20%E2%80%94%20but%20without%20a%20computer%20to%20visualise%20it%2C%20the%20result%20stayed%20a%0A%20%20%20%20mathematical%20curiosity%20for%20decades.%0A%0A%20%20%20%20Today%20the%20double%20pendulum%20is%20one%20of%20the%20most%20common%20classroom%20demonstrations%0A%20%20%20%20of%20deterministic%20chaos%20%E2%80%94%20cheap%20to%20build%2C%20easy%20to%20film%2C%20and%20its%20divergence%20is%0A%20%20%20%20visible%20to%20the%20naked%20eye%20in%20under%20a%20minute.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20display_section1_text(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20---%0A%20%20%20%20%23%23%201%20%C2%B7%20The%20Single%20Pendulum%20%E2%80%94%20Regular%2C%20Not%20Chaotic%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Equations%20of%20motion%0A%0A%20%20%20%20A%20point%20mass%20%24m%24%20on%20a%20massless%20rigid%20rod%20of%20length%20%24L%24%2C%20released%20from%20rest%20at%20angle%0A%20%20%20%20%24%5Ctheta_0%24%20from%20the%20vertical%2C%20obeys%20Newton's%20second%20law%20for%20rotation%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cfrac%7Bd%5Ctheta%7D%7Bdt%7D%20%3D%20%5Comega%20%5Cqquad%20%5Cfrac%7Bd%5Comega%7D%7Bdt%7D%20%3D%20-%5Cfrac%7Bg%7D%7BL%7D%5Csin%5Ctheta%24%24%0A%0A%20%20%20%20This%20is%20the%20**full%2C%20exact%2C%20nonlinear**%20equation%20%E2%80%94%20no%20approximation%20has%20been%20made%20yet.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20The%20small-angle%20(linear)%20approximation%0A%0A%20%20%20%20For%20%24%7C%5Ctheta%7C%20%5Cll%201%24%20rad%2C%20%24%5Csin%5Ctheta%20%5Capprox%20%5Ctheta%24%2C%20and%20the%20equation%20becomes%20**linear**%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cfrac%7Bd%5Comega%7D%7Bdt%7D%20%5Capprox%20-%5Cfrac%7Bg%7D%7BL%7D%5Ctheta%0A%20%20%20%20%5Cqquad%5CLongrightarrow%5Cqquad%0A%20%20%20%20%5Cddot%5Ctheta%20%2B%20%5Comega_0%5E2%5C%2C%5Ctheta%20%3D%200%2C%5Cqquad%20%5Comega_0%20%3D%20%5Csqrt%7Bg%2FL%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20This%20is%20simple%20harmonic%20motion%20(SHM)%3A%20%24%5Ctheta(t)%20%3D%20%5Ctheta_0%5Ccos(%5Comega_0%20t)%24%2C%20with%20a%0A%20%20%20%20period%20%24T_0%20%3D%202%5Cpi%2F%5Comega_0%24%20that%20is%20**independent%20of%20amplitude**%20%E2%80%94%20the%20classic%20(and%0A%20%20%20%20only%20approximately%20true)%20statement%20that%20%22the%20pendulum%20period%20doesn't%20depend%20on%20how%0A%20%20%20%20far%20you%20pull%20it%20back.%22%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Why%20the%20*exact*%20nonlinear%20pendulum%20is%20still%20never%20chaotic%0A%0A%20%20%20%20The%20single%20pendulum%20conserves%20energy%20per%20unit%20mass%2C%0A%0A%20%20%20%20%24%24E%20%3D%20%5Ctfrac12%5Comega%5E2%20-%20%5Cfrac%7Bg%7D%7BL%7D%5Ccos%5Ctheta%20%5C%3B%3D%5C%3B%20%5Ctext%7Bconstant%7D%2C%24%24%0A%0A%20%20%20%20so%20every%20trajectory%20is%20confined%20to%20one%20energy%20contour%20in%20the%202-D%20phase%20plane%0A%20%20%20%20%24(%5Ctheta%2C%5Comega)%24%20%E2%80%94%20a%20**closed%20curve**%20(for%20bounded%20swinging%20motion)%20or%20a%20smoothly%0A%20%20%20%20periodic%20open%20curve%20(if%20the%20pendulum%20has%20enough%20energy%20to%20go%20over%20the%20top).%20Two%0A%20%20%20%20trajectories%20starting%20on%20nearby%20contours%20**stay%20on%20nearby%20contours%20forever**%20%E2%80%94%0A%20%20%20%20nothing%20here%20can%20grow%20exponentially%2C%20however%20large%20the%20amplitude.%0A%0A%20%20%20%20This%20is%20not%20a%20special%20property%20of%20the%20pendulum%20%E2%80%94%20it%20is%20forced%20by%20the%0A%20%20%20%20**Poincar%C3%A9%E2%80%93Bendixson%20theorem**%3A%20a%20continuous-time%20autonomous%20system%20with%20only%20a%0A%20%20%20%20**2-dimensional**%20phase%20space%20cannot%20have%20chaotic%20trajectories.%20Bounded%20orbits%20in%0A%20%20%20%202-D%20can%20only%20approach%20a%20fixed%20point%2C%20approach%20a%20periodic%20orbit%2C%20or%20(as%20here)%20trace%0A%20%20%20%20out%20a%20one-parameter%20family%20of%20periodic%20curves.%20There%20simply%20is%20not%20enough%20room%20in%20a%0A%20%20%20%202-D%20phase%20space%20for%20trajectories%20to%20stretch%20and%20fold%20without%20crossing%20themselves%20%E2%80%94%0A%20%20%20%20and%20trajectories%20of%20an%20autonomous%20ODE%20are%20never%20allowed%20to%20cross.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20display_section1_interactive(%0A%20%20%20%20G%2C%0A%20%20%20%20L_SINGLE%2C%0A%20%20%20%20ellipk%2C%0A%20%20%20%20go%2C%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20single_pendulum_rhs%2C%0A%20%20%20%20solve_ivp%2C%0A%20%20%20%20theta0_deg%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20_K%20%3D%20G%20%2F%20L_SINGLE%20%20%23%20%3D%20omega_0%5E2%0A%20%20%20%20_omega0%20%3D%20np.sqrt(_K)%0A%20%20%20%20_theta0%20%3D%20np.deg2rad(theta0_deg.value)%0A%20%20%20%20_theta_grid%20%3D%20np.linspace(-2%20*%20np.pi%2C%202%20*%20np.pi%2C%20800)%0A%0A%20%20%20%20def%20_libration_branch(theta0)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_mask%20%3D%20np.cos(_theta_grid)%20%3E%3D%20np.cos(theta0)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_w%20%3D%20np.full_like(_theta_grid%2C%20np.nan)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_w%5B_mask%5D%20%3D%20np.sqrt(2%20*%20_K%20*%20(np.cos(_theta_grid%5B_mask%5D)%20-%20np.cos(theta0)))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20_w%0A%0A%20%20%20%20_fig%20%3D%20go.Figure()%0A%0A%20%20%20%20%23%20reference%20libration%20contours%20at%20fixed%20amplitudes%0A%20%20%20%20for%20_th0_deg_ref%20in%20(20%2C%2060%2C%20100%2C%20140%2C%20178)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_w%20%3D%20_libration_branch(np.deg2rad(_th0_deg_ref))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20_sign%20in%20(1%2C%20-1)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_fig.add_trace(go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dnp.rad2deg(_theta_grid)%2C%20y%3D_sign%20*%20np.rad2deg(_w)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22lines%22%2C%20line%3Ddict(color%3D%22rgba(140%2C140%2C140%2C0.35)%22%2C%20width%3D1)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20showlegend%3DFalse%2C%20hoverinfo%3D%22skip%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20))%0A%0A%20%20%20%20%23%20separatrix%20(theta0%20-%3E%20180%20deg)%0A%20%20%20%20_w_sep%20%3D%202%20*%20_omega0%20*%20np.abs(np.cos(_theta_grid%20%2F%202))%0A%20%20%20%20for%20_sign%2C%20_leg%20in%20((1%2C%20True)%2C%20(-1%2C%20False))%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_fig.add_trace(go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dnp.rad2deg(_theta_grid)%2C%20y%3D_sign%20*%20np.rad2deg(_w_sep)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22lines%22%2C%20line%3Ddict(color%3D%22firebrick%22%2C%20width%3D1.5%2C%20dash%3D%22dash%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20name%3D%22Separatrix%20(%CE%B8%E2%82%80%20%E2%86%92%20180%C2%B0)%22%2C%20showlegend%3D_leg%2C%20hoverinfo%3D%22skip%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20))%0A%0A%20%20%20%20%23%20rotation%20curves%20(energy%20above%20the%20separatrix%20%E2%80%94%20pendulum%20goes%20over%20the%20top)%0A%20%20%20%20for%20_f%20in%20(0.3%2C%200.9)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_E%20%3D%20_K%20*%20(1%20%2B%20_f)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_w_rot%20%3D%20np.sqrt(np.maximum(2%20*%20(_E%20%2B%20_K%20*%20np.cos(_theta_grid))%2C%200))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20_sign%20in%20(1%2C%20-1)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_fig.add_trace(go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dnp.rad2deg(_theta_grid)%2C%20y%3D_sign%20*%20np.rad2deg(_w_rot)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22lines%22%2C%20line%3Ddict(color%3D%22rgba(100%2C150%2C255%2C0.35)%22%2C%20width%3D1%2C%20dash%3D%22dot%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20showlegend%3DFalse%2C%20hoverinfo%3D%22skip%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20))%0A%0A%20%20%20%20%23%20small-angle%20(SHM)%20ellipse%2C%20for%20the%20*selected*%20amplitude%0A%20%20%20%20_theta_lin%20%3D%20np.linspace(-_theta0%2C%20_theta0%2C%20200)%0A%20%20%20%20_w_lin%20%3D%20_theta0%20*%20_omega0%20*%20np.sqrt(np.maximum(1%20-%20(_theta_lin%20%2F%20_theta0)%20**%202%2C%200))%0A%20%20%20%20for%20_sign%2C%20_leg%20in%20((1%2C%20True)%2C%20(-1%2C%20False))%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_fig.add_trace(go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dnp.rad2deg(_theta_lin)%2C%20y%3D_sign%20*%20np.rad2deg(_w_lin)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22lines%22%2C%20line%3Ddict(color%3D%22orange%22%2C%20width%3D1.5%2C%20dash%3D%22dot%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20name%3D%22Small-angle%20(SHM)%20approximation%22%2C%20showlegend%3D_leg%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20))%0A%0A%20%20%20%20%23%20exact%20selected%20orbit%2C%20analytic%20curve%0A%20%20%20%20_w_exact%20%3D%20_libration_branch(_theta0)%0A%20%20%20%20for%20_sign%2C%20_leg%20in%20((1%2C%20True)%2C%20(-1%2C%20False))%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_fig.add_trace(go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dnp.rad2deg(_theta_grid)%2C%20y%3D_sign%20*%20np.rad2deg(_w_exact)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22lines%22%2C%20line%3Ddict(color%3D%22royalblue%22%2C%20width%3D3)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20name%3Df%22Exact%20orbit%2C%20%CE%B8%E2%82%80%20%3D%20%7Btheta0_deg.value%7D%C2%B0%22%2C%20showlegend%3D_leg%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20))%0A%0A%20%20%20%20%23%20numerically-integrated%20trajectory%20overlaid%20%E2%80%94%20confirms%20it%20traces%20the%20same%20curve%0A%20%20%20%20_T_exact%20%3D%204%20*%20np.sqrt(L_SINGLE%20%2F%20G)%20*%20ellipk(np.sin(_theta0%20%2F%202)%20**%202)%0A%20%20%20%20_t_eval%20%3D%20np.linspace(0%2C%201.5%20*%20_T_exact%2C%20300)%0A%20%20%20%20_sol%20%3D%20solve_ivp(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20single_pendulum_rhs%2C%20(0%2C%20_t_eval%5B-1%5D)%2C%20%5B_theta0%2C%200.0%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20t_eval%3D_t_eval%2C%20method%3D%22RK45%22%2C%20rtol%3D1e-10%2C%20atol%3D1e-12%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_fig.add_trace(go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dnp.rad2deg(_sol.y%5B0%5D)%2C%20y%3Dnp.rad2deg(_sol.y%5B1%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22markers%22%2C%20marker%3Ddict(size%3D3%2C%20color%3D%22black%22%2C%20opacity%3D0.5)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20name%3D%22Numerically%20integrated%20trajectory%22%2C%0A%20%20%20%20))%0A%0A%20%20%20%20_fig.update_layout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20height%3D520%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3Ddict(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20text%3D%22Single-pendulum%20phase%20portrait%20%20(%CE%B8%2C%20%CF%89)%20%E2%80%94%20every%20orbit%20is%20a%20closed%20curve%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D0.5%2C%20font_size%3D13%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xaxis%3Ddict(title%3D%22%CE%B8%20(degrees)%22%2C%20range%3D%5B-360%2C%20360%5D%2C%20gridcolor%3D%22%23ebebeb%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20yaxis%3Ddict(title%3D%22%CF%89%20(degrees%2Fs)%22%2C%20gridcolor%3D%22%23ebebeb%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20margin%3Ddict(l%3D60%2C%20r%3D20%2C%20t%3D50%2C%20b%3D50)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20paper_bgcolor%3D%22white%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20legend%3Ddict(x%3D0.01%2C%20y%3D0.01%2C%20font_size%3D10%2C%20bgcolor%3D%22rgba(255%2C255%2C255%2C0.88)%22)%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20_T_lin%20%3D%202%20*%20np.pi%20%2F%20_omega0%0A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%22%23%23%23%20%E2%9A%99%EF%B8%8F%20Controls%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20theta0_deg%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_fig%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.callout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f%22**%F0%9F%92%A1%20Live%20readout**%20%26nbsp%3B%7C%26nbsp%3B%20%CE%B8%E2%82%80%20%3D%20%7Btheta0_deg.value%7D%C2%B0%20%20%5Cn%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f%22Small-angle%20period%20estimate%3A%20**%7B_T_lin%3A.3f%7D%20s**%20%20%5Cn%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f%22Exact%20period%20(elliptic%20integral)%3A%20**%7B_T_exact%3A.3f%7D%20s**%20%20%5Cn%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f%22Exact%20period%20is%20**%7B100%20*%20(_T_exact%20%2F%20_T_lin%20-%201)%3A.1f%7D%25**%20longer%20than%20the%20SHM%20estimate%20%20%5Cn%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%F0%9F%9F%A2%20Bounded%2C%20closed%20orbit%20at%20every%20amplitude%20%E2%80%94%20this%20system%20cannot%20become%20chaotic.%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20kind%3D%22success%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20display_section1_callout(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.callout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Try%20it%3A**%20drag%20%CE%B8%E2%82%80%20all%20the%20way%20to%20175%C2%B0%20%E2%80%94%20right%20up%20against%20the%20unstable%20equilibrium%20at%0A%20%20%20%20%CE%B8%20%3D%20180%C2%B0.%20Even%20here%2C%20arbitrarily%20close%20to%20the%20separatrix%2C%20the%20orbit%20is%20still%20a%20single%0A%20%20%20%20closed%20curve%2C%20and%20the%20period%20simply%20grows%20(logarithmically)%20longer%20%E2%80%94%20it%20never%20becomes%0A%20%20%20%20irregular%20or%20sensitive%20to%20initial%20conditions.%20A%201-DOF%20conservative%20system%20is%20*always*%0A%20%20%20%20regular%2C%20no%20matter%20how%20nonlinear%20its%20equation%20of%20motion%20is.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20kind%3D%22info%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20display_section2_text(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20---%0A%20%20%20%20%23%23%202%20%C2%B7%20The%20Double%20Pendulum%20%E2%80%94%20Chaotic%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Setup%0A%0A%20%20%20%20Attach%20a%20second%20pendulum%20(mass%20%24m_2%24%2C%20rod%20length%20%24L_2%24)%20to%20the%20bob%20of%20the%20first%0A%20%20%20%20(mass%20%24m_1%24%2C%20rod%20length%20%24L_1%24).%20The%20state%20is%20now%20four%20numbers%2C%0A%20%20%20%20%24(%5Ctheta_1%2C%5Ctheta_2%2C%5Comega_1%2C%5Comega_2)%24%20%E2%80%94%20the%20phase%20space%20is%20**4-dimensional**.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Equations%20of%20motion%0A%0A%20%20%20%20Applying%20the%20Euler%E2%80%93Lagrange%20equations%20to%20the%20double-pendulum%20Lagrangian%20gives%20the%0A%20%20%20%20exact%20(no%20small-angle%20approximation)%20coupled%20nonlinear%20system%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cdot%5Ctheta_1%3D%5Comega_1%2C%5Cqquad%20%5Cdot%5Ctheta_2%3D%5Comega_2%24%24%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cdot%5Comega_1%3D%5Cfrac%7B-g(2m_1%2Bm_2)%5Csin%5Ctheta_1-m_2%20g%5Csin(%5Ctheta_1-2%5Ctheta_2)%0A%20%20%20%20-2%5Csin(%5Ctheta_1-%5Ctheta_2)%5C%2Cm_2%5C!%5Cleft(%5Comega_2%5E2%20L_2%2B%5Comega_1%5E2%20L_1%5Ccos(%5Ctheta_1-%5Ctheta_2)%5Cright)%7D%0A%20%20%20%20%7BL_1%5Cleft(2m_1%2Bm_2-m_2%5Ccos(2%5Ctheta_1-2%5Ctheta_2)%5Cright)%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cdot%5Comega_2%3D%5Cfrac%7B2%5Csin(%5Ctheta_1-%5Ctheta_2)%5Cleft(%5Comega_1%5E2%20L_1(m_1%2Bm_2)%2Bg(m_1%2Bm_2)%5Ccos%5Ctheta_1%0A%20%20%20%20%2B%5Comega_2%5E2%20L_2%20m_2%5Ccos(%5Ctheta_1-%5Ctheta_2)%5Cright)%7D%0A%20%20%20%20%7BL_2%5Cleft(2m_1%2Bm_2-m_2%5Ccos(2%5Ctheta_1-2%5Ctheta_2)%5Cright)%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20These%20equations%20look%20intimidating%2C%20but%20the%20physics%20is%20simple%3A%20each%20rod's%20angular%0A%20%20%20%20acceleration%20depends%20on%20gravity%2C%20on%20the%20*other*%20rod's%20angle%20and%20angular%20velocity%0A%20%20%20%20(through%20the%20%24%5Csin(%5Ctheta_1-%5Ctheta_2)%24%20coupling%20terms)%2C%20and%20on%20centripetal%20feedback%0A%20%20%20%20(%24%5Comega%5E2%24%20terms).%20It%20is%20exactly%20this%20coupling%20that%20breaks%20the%20argument%20used%20for%0A%20%20%20%20the%20single%20pendulum%20above.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Why%20this%20system%20*can*%20be%20chaotic%0A%0A%20%20%20%20The%20double%20pendulum%20still%20conserves%20total%20energy%2C%20but%20energy%20conservation%20only%0A%20%20%20%20removes%20**one**%20dimension%20from%20a%20**4-dimensional**%20phase%20space%20%E2%80%94%20leaving%20a%0A%20%20%20%203-dimensional%20energy%20surface%20for%20trajectories%20to%20wander%20on.%20That%20is%20enough%20room%20for%0A%20%20%20%20trajectories%20to%20stretch%20and%20fold%20without%20crossing%20%E2%80%94%20exactly%20the%20mechanism%20behind%20the%0A%20%20%20%20Lorenz%20attractor%20in%20the%0A%20%20%20%20%5Bchaos%20and%20ensemble-forecasting%20notebook%5D(%2Fchaos%2Florenz63_ensemble_explorer.html).%0A%20%20%20%20The%20Poincar%C3%A9%E2%80%93Bendixson%20restriction%20that%20protected%20the%20single%20pendulum%20**does%20not%0A%20%20%20%20apply**%20once%20the%20phase%20space%20has%203%20or%20more%20dimensions.%0A%0A%20%20%20%20Whether%20a%20*given*%20double-pendulum%20trajectory%20is%20actually%20chaotic%20depends%20on%20its%0A%20%20%20%20energy%3A%20at%20low%20energy%20(small%20swings)%20the%20motion%20is%20close%20to%20two%20decoupled%20linear%0A%20%20%20%20oscillators%20and%20looks%20regular%3B%20at%20high%20energy%20%E2%80%94%20especially%20anywhere%20near%0A%20%20%20%20%24%5Ctheta_1%2C%5Ctheta_2%3D%5Cpm180%C2%B0%24%20%E2%80%94%20the%20motion%20is%20almost%20always%20chaotic.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20display_section2_experiment(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.callout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**%F0%9F%94%AC%20Experiment%20%E2%80%94%20find%20the%20transition%20from%20regular%20to%20chaotic%3A**%0A%0A%20%20%20%201.%20Set%20%CE%B8%E2%82%81%20%3D%20%CE%B8%E2%82%82%20%3D%2020%C2%B0%20(small%20swings)%20and%20%CE%B4%E2%82%80%20%3D%2010%E2%81%BB%E2%81%B6.%20%20Watch%20the%20phase%20portrait%20and%20the%0A%20%20%20%20%20%20%20separation%20plot.%20%20Do%20the%20two%20trajectories%20stay%20together%3F%0A%20%20%20%202.%20Now%20set%20%CE%B8%E2%82%81%20%3D%20120%C2%B0%2C%20%CE%B8%E2%82%82%20%3D%20-10%C2%B0%2C%20keeping%20%CE%B4%E2%82%80%20%3D%2010%E2%81%BB%E2%81%B6%20(the%20same%20tiny%20perturbation).%0A%20%20%20%20%20%20%20What%20happens%20to%20the%20separation%20curve%20now%3F%0A%20%20%20%203.%20With%20%CE%B8%E2%82%81%20%3D%20120%C2%B0%20fixed%2C%20slide%20%CE%B4%E2%82%80%20from%2010%E2%81%BB%E2%81%B8%20up%20to%2010%E2%81%BB%C2%B3.%20%20Does%20starting%20*closer*%0A%20%20%20%20%20%20%20together%20delay%20the%20divergence%2C%20or%20prevent%20it%20entirely%3F%0A%20%20%20%204.%20Try%20%CE%B8%E2%82%81%20%3D%20%CE%B8%E2%82%82%20%3D%20170%C2%B0%20%E2%80%94%20close%20to%20the%20most%20energetic%20configuration%20available.%0A%20%20%20%20%20%20%20How%20quickly%20do%20the%20trajectories%20separate%20compared%20to%20case%202%3F%0A%20%20%20%20%22%22%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20kind%3D%22neutral%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20display_section2_interactive(%0A%20%20%20%20G%2C%0A%20%20%20%20L1%2C%0A%20%20%20%20L2%2C%0A%20%20%20%20double_pendulum_rhs%2C%0A%20%20%20%20dp_lead_time%2C%0A%20%20%20%20dp_pert_exp%2C%0A%20%20%20%20dp_theta1_deg%2C%0A%20%20%20%20dp_theta2_deg%2C%0A%20%20%20%20go%2C%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20solve_ivp%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20_tau%20%3D%20np.sqrt((L1%20%2B%20L2)%20%2F%20G)%20%20%23%20characteristic%20timescale%2C%20used%20to%20non-dimensionalize%20omega%0A%0A%20%20%20%20_th1_0%20%3D%20np.deg2rad(dp_theta1_deg.value)%0A%20%20%20%20_th2_0%20%3D%20np.deg2rad(dp_theta2_deg.value)%0A%20%20%20%20_delta0%20%3D%2010.0%20**%20dp_pert_exp.value%0A%20%20%20%20_T%20%3D%20dp_lead_time.value%0A%20%20%20%20_t_eval%20%3D%20np.linspace(0%2C%20_T%2C%202000)%0A%0A%20%20%20%20_s0_a%20%3D%20np.array(%5B_th1_0%2C%20_th2_0%2C%200.0%2C%200.0%5D)%0A%20%20%20%20_s0_b%20%3D%20_s0_a%20%2B%20np.array(%5B_delta0%2C%200.0%2C%200.0%2C%200.0%5D)%0A%0A%20%20%20%20_sol_a%20%3D%20solve_ivp(double_pendulum_rhs%2C%20(0%2C%20_T)%2C%20_s0_a%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20t_eval%3D_t_eval%2C%20method%3D%22RK45%22%2C%20rtol%3D1e-10%2C%20atol%3D1e-12)%0A%20%20%20%20_sol_b%20%3D%20solve_ivp(double_pendulum_rhs%2C%20(0%2C%20_T)%2C%20_s0_b%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20t_eval%3D_t_eval%2C%20method%3D%22RK45%22%2C%20rtol%3D1e-10%2C%20atol%3D1e-12)%0A%0A%20%20%20%20_th1_a%2C%20_th2_a%2C%20_w1_a%2C%20_w2_a%20%3D%20_sol_a.y%0A%20%20%20%20_th1_b%2C%20_th2_b%2C%20_w1_b%2C%20_w2_b%20%3D%20_sol_b.y%0A%0A%20%20%20%20%23%20full%204-D%20state%20separation%2C%20non-dimensionalized%20(angles%20in%20rad%2C%20rates%20scaled%20by%20tau)%0A%20%20%20%20_sep%20%3D%20np.sqrt(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(_th1_a%20-%20_th1_b)%20**%202%20%2B%20(_th2_a%20-%20_th2_b)%20**%202%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%2B%20(_tau%20*%20(_w1_a%20-%20_w1_b))%20**%202%20%2B%20(_tau%20*%20(_w2_a%20-%20_w2_b))%20**%202%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Lyapunov%20estimate%20from%20early%20exponential%20growth%0A%20%20%20%20_early%20%3D%20(_t_eval%20%3C%20_T%20%2F%203)%20%26%20(_sep%20%3E%200)%0A%20%20%20%20if%20_early.sum()%20%3E%205%20and%20_sep%5B_early%5D%5B0%5D%20%3E%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_log_sep%20%3D%20np.log(_sep%5B_early%5D%20%2B%201e-20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_slope%2C%20_%20%3D%20np.polyfit(_t_eval%5B_early%5D%2C%20_log_sep%2C%201)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_lambda_est%20%3D%20float(_slope)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_lambda_str%20%3D%20f%22%7B_lambda_est%3A.3f%7D%20s%E2%81%BB%C2%B9%22%20if%20_lambda_est%20%3E%200%20else%20%22%E2%89%88%200%20(no%20measurable%20growth%20yet)%22%0A%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_lambda_est%20%3D%20None%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_lambda_str%20%3D%20%22%E2%80%94%22%0A%0A%20%20%20%20%23%20----%20phase-space%20figure%3A%20(theta1%2C%20omega1)%20projection%20of%20the%20full%204-D%20state%20----%0A%20%20%20%20_fig_phase%20%3D%20go.Figure()%0A%20%20%20%20_fig_phase.add_trace(go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dnp.rad2deg(_th1_a)%2C%20y%3Dnp.rad2deg(_w1_a)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22lines%22%2C%20line%3Ddict(color%3D%22royalblue%22%2C%20width%3D2)%2C%20name%3D%22Baseline%20(A)%22%2C%0A%20%20%20%20))%0A%20%20%20%20_fig_phase.add_trace(go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dnp.rad2deg(_th1_b)%2C%20y%3Dnp.rad2deg(_w1_b)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22lines%22%2C%20line%3Ddict(color%3D%22crimson%22%2C%20width%3D2)%2C%20name%3D%22Perturbed%20(B)%22%2C%0A%20%20%20%20))%0A%20%20%20%20_fig_phase.add_trace(go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D%5Bnp.rad2deg(_th1_a%5B0%5D)%5D%2C%20y%3D%5Bnp.rad2deg(_w1_a%5B0%5D)%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22markers%22%2C%20marker%3Ddict(size%3D9%2C%20color%3D%22limegreen%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20name%3Df%22Shared%20start%20(%CE%B4%E2%82%80%20%3D%2010%5E%7Bdp_pert_exp.value%3A.1f%7D)%22%2C%0A%20%20%20%20))%0A%20%20%20%20_fig_phase.update_layout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20height%3D480%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3Ddict(text%3D%22Double-pendulum%20phase%20portrait%20%E2%80%94%20(%CE%B8%E2%82%81%2C%20%CF%89%E2%82%81)%20projection%20of%20the%204-D%20state%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D0.5%2C%20font_size%3D12)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xaxis%3Ddict(title%3D%22%CE%B8%E2%82%81%20(degrees)%22%2C%20gridcolor%3D%22%23ebebeb%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20yaxis%3Ddict(title%3D%22%CF%89%E2%82%81%20(degrees%2Fs)%22%2C%20gridcolor%3D%22%23ebebeb%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20margin%3Ddict(l%3D60%2C%20r%3D20%2C%20t%3D50%2C%20b%3D50)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20paper_bgcolor%3D%22white%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20legend%3Ddict(x%3D0.01%2C%20y%3D0.01%2C%20font_size%3D10%2C%20bgcolor%3D%22rgba(255%2C255%2C255%2C0.88)%22)%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20----%20separation%20figure%20----%0A%20%20%20%20_fig_sep%20%3D%20go.Figure()%0A%20%20%20%20_fig_sep.add_trace(go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D_t_eval%2C%20y%3D_sep%2C%20mode%3D%22lines%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3D%22darkorchid%22%2C%20width%3D2.5)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fill%3D%22tozeroy%22%2C%20fillcolor%3D%22rgba(148%2C0%2C211%2C0.07)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20name%3D%22%7Cstate%20A%20%E2%88%92%20state%20B%7C%22%2C%0A%20%20%20%20))%0A%20%20%20%20if%20_lambda_est%20and%20_lambda_est%20%3E%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_t_ref%20%3D%20_t_eval%5B_early%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_fig_sep.add_trace(go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D_t_ref%2C%20y%3D_sep%5B_early%5D%5B0%5D%20*%20np.exp(_lambda_est%20*%20(_t_ref%20-%20_t_ref%5B0%5D))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22lines%22%2C%20line%3Ddict(color%3D%22orange%22%2C%20width%3D1.5%2C%20dash%3D%22dot%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20name%3Df%22e%5E(%CE%BBt)%2C%20%20%CE%BB%20%E2%89%88%20%7B_lambda_est%3A.3f%7D%20s%E2%81%BB%C2%B9%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20))%0A%20%20%20%20_fig_sep.update_layout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20height%3D480%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3Ddict(text%3D%22Separation%20between%20the%20two%20trajectories%20(log%20scale)%22%2C%20x%3D0.5%2C%20font_size%3D12)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xaxis%3Ddict(title%3D%22Time%20(s)%22%2C%20gridcolor%3D%22%23ebebeb%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20yaxis%3Ddict(title%3D%22Non-dimensional%20state%20separation%22%2C%20type%3D%22log%22%2C%20gridcolor%3D%22%23ebebeb%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20margin%3Ddict(l%3D60%2C%20r%3D20%2C%20t%3D50%2C%20b%3D50)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20paper_bgcolor%3D%22white%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20legend%3Ddict(x%3D0.01%2C%20y%3D0.99%2C%20font_size%3D10%2C%20bgcolor%3D%22rgba(255%2C255%2C255%2C0.88)%22)%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20if%20_lambda_est%20is%20None%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_regime%20%3D%20%22%E2%9A%AA%20Not%20enough%20early-time%20samples%20to%20estimate%20%CE%BB%20%E2%80%94%20try%20a%20longer%20lead%20time.%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ck%20%3D%20%22neutral%22%0A%20%20%20%20elif%20_lambda_est%20%3E%200.05%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_regime%20%3D%20%22%F0%9F%94%B4%20Exponential%20divergence%20detected%20%E2%80%94%20this%20trajectory%20pair%20is%20chaotic.%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ck%20%3D%20%22danger%22%0A%20%20%20%20elif%20_lambda_est%20%3E%200.0%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_regime%20%3D%20%22%F0%9F%9F%A0%20Slow%20growth%20%E2%80%94%20near%20the%20edge%20between%20regular%20and%20chaotic.%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ck%20%3D%20%22warn%22%0A%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_regime%20%3D%20%22%F0%9F%9F%A2%20No%20measurable%20divergence%20yet%20%E2%80%94%20on%20this%20time%20horizon%20this%20looks%20like%20a%20regular%20(non-chaotic)%20trajectory.%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ck%20%3D%20%22success%22%0A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%22%23%23%23%20%E2%9A%99%EF%B8%8F%20Controls%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.hstack(%5Bdp_theta1_deg%2C%20dp_theta2_deg%5D%2C%20gap%3D%223rem%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.hstack(%5Bdp_pert_exp%2C%20dp_lead_time%5D%2C%20gap%3D%223rem%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.hstack(%5B_fig_phase%2C%20_fig_sep%5D%2C%20widths%3D%5B1%2C%201%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.callout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f%22**%F0%9F%92%A1%20Live%20readout**%20%26nbsp%3B%7C%26nbsp%3B%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%CE%B8%E2%82%81%E2%82%80%20%3D%20%7Bdp_theta1_deg.value%7D%C2%B0%2C%20%CE%B8%E2%82%82%E2%82%80%20%3D%20%7Bdp_theta2_deg.value%7D%C2%B0%20%26nbsp%3B%C2%B7%26nbsp%3B%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%CE%B4%E2%82%80%20%3D%2010%5E%7Bdp_pert_exp.value%3A.1f%7D%20rad%20%26nbsp%3B%C2%B7%26nbsp%3B%20T%20%3D%20%7B_T%7D%20s%20%20%5Cn%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f%22Final%20separation%3A%20**%7B_sep%5B-1%5D%3A.3g%7D**%20(non-dimensional)%20%20%5Cn%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f%22Estimated%20Lyapunov%20exponent%20%CE%BB%3A%20**%7B_lambda_str%7D**%20%20%5Cn%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%7B_regime%7D%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20kind%3D_ck%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20display_section3_comparison(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20---%0A%20%20%20%20%23%23%203%20%C2%B7%20Why%20One%20Pendulum%20Is%20Never%20Chaotic%20and%20Two%20(Almost)%20Always%20Can%20Be%0A%0A%20%20%20%20%7C%20%7C%20Single%20pendulum%20%7C%20Double%20pendulum%20%7C%0A%20%20%20%20%7C---%7C---%7C---%7C%0A%20%20%20%20%7C%20Degrees%20of%20freedom%20%7C%201%20%7C%202%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20Phase-space%20dimension%20%7C%202%20%20%24(%5Ctheta%2C%5Comega)%24%20%7C%204%20%20%24(%5Ctheta_1%2C%5Ctheta_2%2C%5Comega_1%2C%5Comega_2)%24%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20Energy%20surface%20dimension%20%7C%201%20(a%20curve)%20%7C%203%20(a%20volume)%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20Governing%20equations%20%7C%20Linear%20*only*%20for%20small%20angle%20%7C%20Nonlinear%20at%20*every*%20amplitude%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20Integrable%3F%20%7C%20Yes%2C%20always%20(closed-form%20via%20elliptic%20integrals)%20%7C%20No%2C%20in%20general%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20Lyapunov%20exponent%20%CE%BB%20%7C%20Exactly%200%20(periodic%2Fquasi-periodic)%20%7C%20%3E%200%20for%20most%20high-energy%20initial%20conditions%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20Long-term%20predictability%20%7C%20Perfect%2C%20at%20any%20amplitude%20%7C%20Bounded%20by%20the%20same%20SDIC%20argument%20as%20%5BLorenz%2063%5D(%2Fchaos%2Florenz63_ensemble_explorer.html)%20%7C%0A%0A%20%20%20%20**The%20general%20principle**%20(Poincar%C3%A9%E2%80%93Bendixson%20theorem)%3A%20a%20continuous-time%0A%20%20%20%20autonomous%20system%20needs%20**at%20least%203%20phase-space%20dimensions**%20to%20be%20chaotic.%20The%0A%20%20%20%20single%20pendulum%20is%20stuck%20at%202%20%E2%80%94%20no%20amount%20of%20nonlinearity%20can%20rescue%20it.%20The%0A%20%20%20%20double%20pendulum's%20extra%20hinge%20buys%20the%20third%20(and%20fourth)%20dimension%2C%20and%20that%20is%0A%20%20%20%20the%20*entire*%20difference%20between%20perfect%20predictability%20and%20chaos.%20This%20is%20the%20same%0A%20%20%20%20dimensional%20argument%20that%20makes%20the%20Lorenz%2063%20system%20(3%20dimensions%2C%20%24X%2CY%2CZ%24)%20the%0A%20%20%20%20*minimal*%20continuous%20chaotic%20system%20%E2%80%94%20see%20the%0A%20%20%20%20%5Bchaos%20and%20ensemble-forecasting%20notebook%5D(%2Fchaos%2Florenz63_ensemble_explorer.html)%0A%20%20%20%20for%20a%20full%20treatment%20of%20what%20happens%20once%20a%20system%20crosses%20that%20threshold.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20display_questions(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20---%0A%20%20%20%20%23%23%20%F0%9F%93%9D%20Guided%20Questions%0A%0A%20%20%20%20---%0A%0A%20%20%20%20**Q1%20%E2%80%94%20Dimension%20counting**%0A%0A%20%20%20%20-%20How%20many%20numbers%20does%20it%20take%20to%20fully%20specify%20the%20*instantaneous*%20state%20of%20a%20single%0A%20%20%20%20%20%20pendulum%3F%20%20Of%20a%20double%20pendulum%3F%0A%20%20%20%20-%20Using%20the%20Poincar%C3%A9%E2%80%93Bendixson%20theorem%2C%20explain%20in%20one%20sentence%20why%20the%20single%20pendulum%0A%20%20%20%20%20%20can%20never%20be%20chaotic%2C%20however%20large%20its%20amplitude.%0A%0A%20%20%20%20---%0A%0A%20%20%20%20**Q2%20%E2%80%94%20Amplitude%20and%20period**%20*(Section%201)*%0A%0A%20%20%20%20Slide%20%CE%B8%E2%82%80%20from%2010%C2%B0%20to%20170%C2%B0.%0A%0A%20%20%20%20-%20At%20what%20amplitude%20does%20the%20exact%20period%20first%20differ%20from%20the%20small-angle%20estimate%20by%0A%20%20%20%20%20%20more%20than%2010%25%3F%0A%20%20%20%20-%20Does%20the%20exact%20orbit%20ever%20stop%20being%20a%20single%20closed%20curve%20in%20the%20phase%20portrait%3F%0A%0A%20%20%20%20---%0A%0A%20%20%20%20**Q3%20%E2%80%94%20Finding%20the%20chaotic%20threshold**%20*(Section%202)*%0A%0A%20%20%20%20Fix%20%CE%B4%E2%82%80%20%3D%2010%E2%81%BB%E2%81%B6.%20%20Starting%20from%20%CE%B8%E2%82%81%20%3D%20%CE%B8%E2%82%82%20%3D%2010%C2%B0%2C%20slowly%20increase%20both%20angles%20together.%0A%0A%20%20%20%20-%20Roughly%20where%20does%20the%20separation%20curve%20change%20from%20%22flat%22%20to%20%22exponential%20growth%22%3F%0A%20%20%20%20-%20Is%20there%20a%20sharp%20threshold%2C%20or%20a%20gradual%20transition%3F%0A%0A%20%20%20%20---%0A%0A%20%20%20%20**Q4%20%E2%80%94%20Comparing%20to%20Lorenz%2063**%0A%0A%20%20%20%20The%20%5BLorenz%2063%20notebook%5D(%2Fchaos%2Florenz63_ensemble_explorer.html)%20estimates%20a%20Lyapunov%0A%20%20%20%20exponent%20%CE%BB%20%E2%89%88%200.9%20MTU%E2%81%BB%C2%B9%20(dimensionless%20model%20time).%20Here%20you%20estimated%20%CE%BB%20in%20s%E2%81%BB%C2%B9%20for%20a%0A%20%20%20%20physical%20double%20pendulum.%0A%0A%20%20%20%20-%20Why%20can't%20these%20two%20%CE%BB%20values%20be%20compared%20directly%20without%20knowing%20a%20real%20physical%0A%20%20%20%20%20%20pendulum's%20rod%20length%20and%20the%20atmosphere's%20characteristic%20timescale%3F%0A%20%20%20%20-%20What%20do%20the%20two%20systems%20have%20in%20common%20structurally%2C%20despite%20being%20physically%0A%20%20%20%20%20%20unrelated%3F%0A%0A%20%20%20%20---%0A%0A%20%20%20%20*Single%20pendulum%3A%20%24g%2FL%20%3D%209.81%5C%20%5Ctext%7Bs%7D%5E%7B-2%7D%24.%20%20Double%20pendulum%3A%20%24m_1%3Dm_2%3DL_1%3DL_2%3D1%24%20(SI%20units).*%0A%20%20%20%20*Integration%3A%20RK45%20(scipy)%2C%20rtol%20%3D%2010%E2%81%BB%C2%B9%E2%81%B0.*%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20cell_further_reading(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20---%0A%20%20%20%20%23%23%20%F0%9F%93%9A%20Further%20Reading%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Papers%0A%0A%20%20%20%20-%20**Shinbrot%2C%20T.%2C%20Grebogi%2C%20C.%2C%20Wisdom%2C%20J.%2C%20%26%20Yorke%2C%20J.%20A.%20(1992)**.%20*Chaos%20in%20a%20double%0A%20%20%20%20%20%20pendulum.*%20American%20Journal%20of%20Physics%2C%2060(6)%2C%20491%E2%80%93499.%20The%20classic%2C%20accessible%0A%20%20%20%20%20%20treatment%20of%20exactly%20this%20system.%0A%20%20%20%20-%20**Poincar%C3%A9%2C%20H.%20(1890)**.%20*Sur%20le%20probl%C3%A8me%20des%20trois%20corps%20et%20les%20%C3%A9quations%20de%20la%0A%20%20%20%20%20%20dynamique.*%20The%20original%20discovery%20of%20sensitive%20dependence%2C%20in%20the%20three-body%0A%20%20%20%20%20%20problem%20%E2%80%94%20predating%20Lorenz%20by%20seventy%20years.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Books%0A%0A%20%20%20%20-%20**Strogatz%2C%20S.%20H.%20(2015)**.%20*Nonlinear%20Dynamics%20and%20Chaos.*%20Westview%20Press.%0A%20%20%20%20%20%20Chapter%206%20covers%20the%20Poincar%C3%A9%E2%80%93Bendixson%20theorem%20in%20full%3B%20Chapter%209%20covers%20the%0A%20%20%20%20%20%20Lorenz%20system.%0A%20%20%20%20-%20**Tabor%2C%20M.%20(1989)**.%20*Chaos%20and%20Integrability%20in%20Nonlinear%20Dynamics.*%20Wiley.%0A%20%20%20%20%20%20A%20rigorous%20treatment%20of%20why%20some%20systems%20(like%20the%20single%20pendulum)%20are%0A%20%20%20%20%20%20integrable%20and%20others%20are%20not.%0A%20%20%20%20-%20**Baker%2C%20G.%20L.%20%26%20Blackburn%2C%20J.%20A.%20(2005)**.%20*The%20Pendulum%3A%20A%20Case%20Study%20in%0A%20%20%20%20%20%20Physics.*%20Oxford%20University%20Press.%20A%20whole%20book%20on%20how%20much%20physics%20the%20humble%0A%20%20%20%20%20%20pendulum%20contains%20%E2%80%94%20through%20to%20the%20chaotic%20double%20pendulum.%0A%0A%20%20%20%20---%0A%20%20%20%20*Notebook%20by%20Aneesh%20C.%20Subramanian%20%E2%80%94%20Chaos%20and%20Predictability.*%0A%20%20%20%20*Built%20with%20%5Bmarimo%5D(https%3A%2F%2Fmarimo.io)%2C%20%5BNumPy%5D(https%3A%2F%2Fnumpy.org)%2C%20%5BSciPy%5D(https%3A%2F%2Fscipy.org)%2C%20%5BPlotly%5D(https%3A%2F%2Fplotly.com).*%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A